糖糖
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[通俗版]宇宙膨胀、宇宙学距离与宇宙年龄等
一、说明：
1、本人为业余爱好者非专业人士，此帖是近期个人体会，不妥和错误之处请指正。
2、据威尔金森微波异向探测器的最新成果认为现在的宇宙是平直的。本帖只在平直宇宙中讨论，其结论不完全适用于非平直宇宙。
二、符号：
z宇宙学红移，t宇宙存在时间，H哈勃常数，R宇宙尺度因子，D任意两点间距离，c光速
下标H表示哈勃××，下标0表示现在××
三、基本概念：
1、宇宙尺度因子R：任意两点在t时刻的物理距离与某一参考历元[tex:f4a9768d5b]t_0[/tex:f4a9768d5b]的物理距离之比，
即：[tex:f4a9768d5b]R(t)=\frac{D(t)}{D(t_0)}[/tex:f4a9768d5b]，可见R(t)无量纲，且R(t)的函数形式与t0取值无关。
如果[tex:f4a9768d5b]t_0[/tex:f4a9768d5b]取现在宇宙年龄，则[tex:f4a9768d5b]R(t)=\frac{D(t)}{D_0}[/tex:f4a9768d5b]，[tex:f4a9768d5b]R_0=R(t_0)=1[/tex:f4a9768d5b]，如果宇宙总在膨胀，t<t0时R<1，t>t0时R>1
2、宇宙学红移z：由于宇宙膨胀引起的红移。设[tex:f4a9768d5b]\lambda_1,\lambda_2[/tex:f4a9768d5b]为[tex:f4a9768d5b]t_1,t_2[/tex:f4a9768d5b]时刻某光波的波长，则有
[tex:f4a9768d5b]\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{R(t_2)}{R(t_1)}[/tex:f4a9768d5b]，今t2=t0，t1=t（任意时刻）则
[tex:f4a9768d5b]\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{R(t_0)}{R(t)}=\frac{1}{R(t)}[/tex:f4a9768d5b]
据红移的定义可做如下变换：
[tex:f4a9768d5b]z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\lambda_0-\lambda}{\lambda}=\frac{\lambda_0}{\lambda}-1=\frac{1}{R(t)}-1[/tex:f4a9768d5b]
故[tex:f4a9768d5b]1+z=\frac{1}{R(t)}[/tex:f4a9768d5b]或[tex:f4a9768d5b]R(t)=\frac{1}{1+z}[/tex:f4a9768d5b]
可见z与t是一一对应关系且t=t0时z=0
四、宇宙学距离
1、哈勃距离[tex:f4a9768d5b]D_H[/tex:f4a9768d5b]
哈勃距离的定义为光在哈勃时间[tex:f4a9768d5b]t_H[/tex:f4a9768d5b]（哈勃常数H0的倒数1 / H0）内经过的距离，即：
[tex:f4a9768d5b]D_H=c/H_0[/tex:f4a9768d5b]
假如宇宙从诞生起一直以今天的膨胀速度膨胀的话，那么宇宙诞生时的第一束光走过的距离就是哈勃距离。现今的哈勃常数
取H0＝71 km/sec Mpc，所以tH = 137 亿年，DH ＝ 4.225 Gpc （即137亿光年），这就是美国威尔金森微波背景各向异性探测
卫星（WMAP）于2003年公布的宇宙年龄和宇宙大小，它并不代表宇宙的真正年龄，也不代表宇宙的真正大小。
2、共动距离[tex:f4a9768d5b]D_c[/tex:f4a9768d5b]
顾名思义，是随宇宙一起膨胀的宇宙学距离。共动坐标是随宇宙一起膨胀因而相对宇宙静止的坐标。共动距离是共动坐标上两个不同
时空点之间的距离差，它与宇宙膨胀无关，因此不随宇宙膨胀变化。它相当于用一把与宇宙同样膨胀的尺子测量到的天体距离。形象地说，
共动距离就相当于两张不同比例尺的地图上测量到的距离并按地图比例尺进行了换算，所以共动距离不会因比例尺的变化而改变。
[tex:f4a9768d5b]D_c=\int^{t_0}_{t}\frac{cdt}{R(t)}=D_H\int^{z}_{0}\frac{dz}{E(z)}[/tex:f4a9768d5b]
[tex:f4a9768d5b]E(z)=\sqrt{\Omega_m(1+z)^3+\Omega_k(1+z)^2+\Omega_{\Lambda}}[/tex:f4a9768d5b]
其中[tex:f4a9768d5b]\Omega_m[/tex:f4a9768d5b] 是宇宙中实物的密度，包括暗物质。[tex:f4a9768d5b]\Omega_{\Lambda}[/tex:f4a9768d5b] 是宇宙常数密度，即通常说的暗能量。
[tex:f4a9768d5b]\Omega_k[/tex:f4a9768d5b] 是曲率密度。这三个密度都是无量纲化后的结果。参数现在大家比较公认的值是[tex:f4a9768d5b]\Omega_m=0.27, \Omega_{\Lambda}=0.73, \Omega_k=0[/tex:f4a9768d5b]
3、固有距离[tex:f4a9768d5b]D_p[/tex:f4a9768d5b]:
固有距离是宇宙学距离中最常见的一种定义，通常问一个星系的距离多少时就是指它的固有距离。固有距离定义为两个星系在同一
时间t测量到的两个星系之间的物理距离。因宇宙膨胀固有距离在不同时刻t对应不同[tex:f4a9768d5b]D_p(t)[/tex:f4a9768d5b]
由的定义可得：[tex:f4a9768d5b]D_p(t)=D_cR(t)=D_c\frac{1}{1+z}[/tex:f4a9768d5b]
当t=t0时，[tex:f4a9768d5b]D_{p0}=R_0D_c=D_c[/tex:f4a9768d5b]
4、角直径距离[tex:f4a9768d5b]D_A[/tex:f4a9768d5b]
对于一个静止的宇宙，如果测量到星系的张角和距离，就可以得到星系的线直径，它等于星系距离与张角的乘积。但是，对于膨胀
宇宙，这个关系一般不再成立。不过，可以假定一个距离，使这种关系依然成立，这个距离称为角直径距离。
[tex:f4a9768d5b]D_A=\frac{D_c}{1+z}=D_{p}(z)[/tex:f4a9768d5b]
即角直径距离是星系在发射时刻t的固有距离。
5、自行距离[tex:f4a9768d5b]D_m[/tex:f4a9768d5b]
自行是天体本征运动在天空平面上的投影。在两个不同时间测量到的天体位置的张角除以相应的时间差，即为自行。如果已知天体的距离，
那么距离与自行的简单乘积可以得到天体的横向移动速度。但是，对于膨胀宇宙这个关系同样一般不再成立。不过，可以假定一种距离，使这种
关系依然成立，我们称这个距离为自行距离。
[tex:f4a9768d5b]D_m=D_c=D_{p0}[/tex:f4a9768d5b]
6、光度距离[tex:f4a9768d5b]D_L[/tex:f4a9768d5b]
光度距离的定义与角直径距离和自行距离类似。对于静止宇宙，测量到星系的视星等m（或辐射流量F）和距离d，就可以得到星系的
光度L或绝对星等M，它满足辐射流量的关系式或者距离模数 。但是，对于膨胀宇宙，这个关系一般也不再成立。不过，可以假定一个距
离，使这些关系依然成立，我们称这个距离为光度距离。
[tex:f4a9768d5b]D_L=D_c(1+z)=D_{p0}(1+z)[/tex:f4a9768d5b]
7、光行距离[tex:f4a9768d5b]D_{lit}[/tex:f4a9768d5b]
光行距离的定义为：光自被星系发射到今天被接收到为止走过的距离，即
[tex:f4a9768d5b]D_{lit}=c(t_0-t)=D_H\int^{z}_{0}\frac{dz}{(1+z)E(z)}[/tex:f4a9768d5b]
因宇宙膨胀，光时刻t经过的距离[tex:f4a9768d5b]\Delta D[/tex:f4a9768d5b]现在已膨胀为[tex:f4a9768d5b]\frac{\Delta D}{R(t)}[/tex:f4a9768d5b]，且t越小R(t)越小则膨胀越大，
故[tex:f4a9768d5b]D_{lit}<D_{p0}[/tex:f4a9768d5b]
8、结论：
A、[tex:f4a9768d5b]D_L>D_{p0}(=D_c)>D_{lit}>D_A[/tex:f4a9768d5b]
B、在Z很小时(<0.05)，各种距离都近似相同（10％误差以内）。所以，在研究大红移天体时必须注意距离的定义，通常采用今天固有距离；
C、不论何种模型，光行距离、角直径距离始终小于哈勃距离DH，而光度距离、自行距离、今天固有距离则在z较大时会超过哈勃距离。
因此，今天我们能够观测到光度距离或今天固有距离大于137亿年以远的天体；
D、角直径距离随红移变大将出现极值，更远时角直径距离将反而变小。
五、宇宙膨胀与相对论
只要实物粒子相对共动坐标的本动速度V满足V<c，就满足相对论的要求。本动速度V在视线方向的分速度引起多普勒红移，在垂直视线方向的
分速度引起自行。即：[tex:f4a9768d5b]V=\frac{\Delta D_c(z)}{\Delta t}=\frac{R(z)\Delta D_{p0}(z)}{\Delta t}[/tex:f4a9768d5b]
根据哈勃定律计算出的天体退行速度[tex:f4a9768d5b]V_r[/tex:f4a9768d5b]，是宇宙膨胀造成的相对论对此速度没有要求。哈勃定律用
[tex:f4a9768d5b]V_{r0}=H_0D_{p0}[/tex:f4a9768d5b]表示时适用于任何红移的天体，且当[tex:f4a9768d5b]D_{p0}>D_H,V_{r0}>c[/tex:f4a9768d5b]。
六、宇宙年龄[tex:f4a9768d5b]t_0[/tex:f4a9768d5b]
由光行距公式有[tex:f4a9768d5b]c(t_0-t)=D_H\int^{z}_{0}\frac{dz}{(1+z)E(z)}[/tex:f4a9768d5b]，当t=0(此时[tex:f4a9768d5b]z=\infty[/tex:f4a9768d5b])计算出的[tex:f4a9768d5b]t_0[/tex:f4a9768d5b]就是宇宙年龄。
故[tex:f4a9768d5b]ct_0=D_H\int^{\infty}_{0}\frac{dz}{(1+z)E(z)}[/tex:f4a9768d5b]
因[tex:f4a9768d5b]\frac{D_H}{c}=\frac{ct_H}{c}=t_H=\frac{1}{H_0}[/tex:f4a9768d5b]
得[tex:f4a9768d5b]t_0=t_H\int^{\infty}_{0}\frac{dz}{(1+z)E(z)}=\frac{1}{H_0}\int^{\infty}_{0}\frac{dz}{(1+z)E(z)}[/tex:f4a9768d5b]
因E（Z）与宇宙参数有关，故宇宙年龄与宇宙参数有关。根据现在参数计算得
[tex:f4a9768d5b]t_0=0.993t_H=136[/tex:f4a9768d5b]亿光年
七、现在视界[tex:f4a9768d5b]r_0[/tex:f4a9768d5b]
现在视界是指不考虑技术问题下能看到最远天体的距离。
如果用光行距离表示，显然[tex:f4a9768d5b]r_{lit0}=ct_0[/tex:f4a9768d5b]
如果用固有距离表示，[tex:f4a9768d5b]r_{p0}=D_H\int^{\infty}_{0}\frac{dz}{E(z)}[/tex:f4a9768d5b]
因E（Z）与宇宙参数有关，故现在视界与宇宙参数有关，根据现在参数计算得:
[tex:f4a9768d5b]r_{lit0}=136[/tex:f4a9768d5b]亿光年
[tex:f4a9768d5b]r_{p0}=3.45D_H=473[/tex:f4a9768d5b]亿光年 |
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天地四方曰宇，往古今来曰宙。 ——[战国·鲁]尸佼
宇宙中最不可理解的事情是宇宙是可以理解的！ ——[美]爱因斯坦
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